Jak bardzo krzywa może być krzywa? Pytanie wydaje się na pierwszy rzut oka co najmniej dziwaczne, nie jest jednak bezsensowne. Wystarczy się uważnie przyjrzeć rozmaitym krzywym, by stwierdzić, że jedne linie są zakrzywione bardziej, inne zaś mniej. Na przykład parabola jest bardziej zakrzywiona w pobliżu wierzchołka, gdy natomiast oddala się od niego, wyprostowuje się; także zakrzywienie elipsy nie jest wszędzie jednakowe. Natomiast okrąg wygląda na jednakowo zakrzywiony w każdym miejscu.





Żeby opisać stopień zakrzywienia krzywej, wprowadza się pojęcie krzywizny. Formalny opis wymaga wykorzystania analizy matematycznej; my spróbujemy posłużyć się intuicją geometryczną, nie kładąc zbyt wielkiego nacisku na szczegóły.
Intuicja podpowiada nam, że krzywizna powinna mieć kilka naturalnych własności: krzywizna linii prostej powinna wynosić zero, a okręgu - być stała. Ponadto widać, że im mniejszy promień okręgu, tym bardziej okrąg wydaje się zakrzywiony. Można się więc umówić, że odwrotność promienia to miara zakrzywienia okręgu. Sensowne jest także przyjęcie okręgów za wzorce zakrzywienia.
Wybierzmy punkt, w którym chcemy zmierzyć zakrzywienie danej krzywej. Do niego dobierzmy dwa inne punkty na tej krzywej - po obu stronach badanego punktu. Przez te trzy punkty można poprowadzić albo okrąg, albo prostą.

Owe dodatkowe punkty możemy wybierać na różne sposoby. Wyobraźmy sobie zatem, że kolejne ich pary są dobierane tak, by zbliżały się do punktu środkowego. Za każdym razem powstają okręgi lub proste (choć prostych można się spodziewać jedynie w wyjątkowych przypadkach). Może się zdarzyć, że te okręgi będą zdążać do jakiegoś "granicznego" okręgu (ewentualnie prostej). Co w tym wypadku znaczy słowo "zdążać"? Odwrotności promieni powstałych okręgów mogą się zbliżać do pewnej granicznej wartości - to będzie właśnie krzywizna naszej krzywej w ustalonym punkcie. Jest to liczba, którą można interpretować jako odwrotność promienia okręgu, powstałego w wyniku przejścia granicznego. Okrąg ten jest nazywany okręgiem ściśle stycznym do krzywej w rozważanym punkcie. Krzywa w punkcie jest zakrzywiona tak jak pewien wzorcowy okrąg podobny do krzywej w pobliżu tego punktu. Gdy zaś promienie okręgów rosną do nieskończoności, odwrotności promieni maleją do zera i w granicy otrzymujemy prostą (zgodnie z intuicją: coraz większe okręgi przybliżają się do prostej). Potwierdza to pierwotne przypuszczenia: krzywizna prostej wynosi zero. Analizując określenie krzywizny, widzimy, że jest to pojęcie lokalne - opisane są własności krzywej, wynikające z jej zachowania się tylko w pobliżu wybranego punktu. Ponadto wymagamy od krzywej "gładkości" (czyli wyglądu przypominającego wykres funkcji różniczkowalnej). Gdyby na krzywej występował punkt "załamania", trudno byłoby w nim zdefiniować zakrzywienie.
Można też posłużyć się interpretacją nawiązującą do fizyki. Wyobraźmy sobie, że krzywa to ślad (tor) poruszającego się punktu. Takie określenie krzywej jest bardzo naturalne, choć, jak przekonaliśmy się w rozdziale czwartym, może prowadzić do zaskakujących wniosków. My zajmiemy się tylko sytuacjami regularnymi, kiedy krzywa jest gładka. Wtedy prędkość punktu poruszającego się wzdłuż krzywej jest wektorem do niej stycznym. Żeby nie zaprzątać sobie głowy długością wektora, przyjmijmy dla uproszczenia, że prędkość punktu będzie stale jednostkowa. Zauważmy, że im bardziej zakrzywiona jest krzywa, tym szybciej zmienia kierunek wektor prędkości; na prostej wektor ten ma kierunek stały.
Można zatem przyjąć, że miara krzywizny to szybkość zmiany kierunku wektora prędkości - zgodnie z interpretacją fizyczną jest nią przyśpieszenie. Właśnie tak: wektor przyśpieszenia wyznacza krzywiznę w danym punkcie, jego wartość będzie dokładnie tą poszukiwaną krzywizną. Wektor krzywizny, geometryczny odpowiednik przyśpieszenia dośrodkowego, jest prostopadły do wektora stycznego. Widzimy więc, że interpretacja ta ma bezpośredni związek z okręgiem ściśle stycznym i prowadzi do tego samego pojęcia.

Do tej pory rozważaliśmy tylko krzywe płaskie, chociaż nigdzie tego wyraźnie nie zaznaczyliśmy: opisane intuicje pasują również do krzywych przestrzennych. Można jednak zapytać, co decyduje o tym, że jedna krzywa jest przestrzenna, inna zaś nie. Opisana przez nas krzywizna określa, na ile krzywa różni się od prostej. Powinien chyba istnieć jeszcze inny rodzaj krzywizny, który pokazywałby, jak szybko krzywa "ucieka" z płaszczyzny.
Krzywa może leżeć w przestrzeni i nie dawać się pomieścić w płaszczyźnie. Taka jest na przykład linia śrubowa, nazywana też helisą, którą można sobie wyobrazić jako tor punktu poruszającego się "po sprężynie". Helisę można otrzymać jako wynik złożenia ruchu jednostajnego po prostej i po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do tej prostej.

Istotną rolę w opisie zakrzywienia w przestrzeni odgrywa płaszczyzna wyznaczona przez dwa wektory: wektor styczny do krzywej i wektor do niego prostopadły, związany z przyśpieszeniem dośrodkowym, nazywany wektorem normalnym do krzywej. Płaszczyzna ta nosi nazwę płaszczyzny ściśle stycznej. Gdy krzywa jest płaska, zawiera się w swojej płaszczyźnie ściśle stycznej. Brzmi to dziwnie, ale właśnie taką przyjęto terminologię. Powróćmy jednak do problemu zakrzywienia w przestrzeni. Można je określić jako szybkość ucieczki krzywej od płaszczyzny ściśle stycznej. Mierzy się ją, badając szybkość zmian kierunku wektora prostopadłego (normalnego) do tej płaszczyzny. Jest to trzeci wektor uzupełniający układ wektorów w danym punkcie do czegoś w rodzaju układu współrzędnych; wektor ten nazywamy binormalnym. Łatwiej badać zachowanie wektora niż całej płaszczyzny, tym bardziej że zmiany położenia jednego wektora jednoznacznie określają zachowanie drugiego. Zakrzywienie krzywej w przestrzeni nazywa się skręceniem krzywej (albo drugą krzywizną).
Naturalnie krzywa płaska ma skręcenie równe zero; jej płaszczyzna ściśle styczna nie zmienia położenia, a tym samym jej wektor normalny też nie.
Ciekawe, że skręcenie i krzywizna jednoznacznie wyznaczają krzywą z dokładnością do położenia w przestrzeni - jeśli znamy krzywiznę i skręcenie, to wiemy, z jaką krzywą mamy do czynienia. Jest to podstawowe twierdzenie teorii krzywych.
Można również określić kolejne typy krzywizn dla krzywych włożonych w przestrzeń cztero-, pięcio- i n-wymiarową. Pomińmy jednak ich opisy i spróbujmy się zająć problemem zakrzywienia powierzchni. Jak sprawdzić, czy powierzchnia jest bardziej lub mniej zakrzywiona? Chodzi tu oczywiście nie tylko o wizualne efekty, ale także o matematyczny opis zjawiska. a może posłużyć się wprowadzonym już pojęciem krzywizny krzywej? Pojawiają się jednak poważne trudności, gdyż krzywe na powierzchni mogą się zachowywać bardzo dziwnie i trzeba wyłapać te ich cechy, które w pewnym stopniu zależą od powierzchni, odrzucić zaś cechy wynikające z indywidualnego charakteru krzywej.


Wybierzmy na powierzchni punkt i poprowadźmy przez niego dwie krzywe w taki sposób, żeby ich styczne w punkcie wyznaczały różne kierunki. Wektory styczne (tak jak poprzednio mogą to być jednostkowe wektory prędkości) wyznaczą płaszczyznę - będzie to płaszczyzna styczna w badanym punkcie do powierzchni. w tej płaszczyźnie będą leżały wektory styczne do wszystkich krzywych przechodzących przez zadany punkt i zawartych w badanej powierzchni. Oczywiście, rozważamy tu sytuację regularną - ani w punkcie, ani w jego pobliżu nie dzieje się z powierzchnią nic niezwykłego: nie pojawiają się kanty, "dzióbki", zagięcia itp. Gdyby coś takiego się zdarzyło, to, niestety, nie potrafilibyśmy skonstruować płaszczyzny stycznej - analogicznie jak w przypadku krzywej z punktami załamania.
Jeśli już mamy płaszczyznę styczną, to możemy wybrać wektor jednostkowy prostopadły do tej płaszczyzny w zadanym punkcie - nazywamy go wektorem normalnym. Same jednak zmiany położenia tego wektora nie opisują zakrzywienia powierzchni; wszystko zależy od kierunku jego przesuwania. Na przykład na walcu istnieje droga, wzdłuż której wektor normalny zachowuje ten sam kierunek; jest to tworząca walca. Gdy natomiast wektor normalny wędruje wzdłuż okręgu albo linii śrubowej, jego kierunek się zmienia.

Wszystko zależy więc od wyboru drogi; spróbujmy to jednak wykorzystać na naszą korzyść. Ale najpierw kilka zdań o pewnych wiekowych stworkach, wielce zaprzyjaźnionych z matematykami.
Często, gdy chcemy bardziej obrazowo przedstawić pewne - nie zawsze proste - sytuacje, szczególnie wyżej wymiarowe, posługujemy się wielce sympatycznymi stworkami, zwanymi płaszczakami. To, jak one wyglądają, zależy od inwencji autorów. Na pewno są dwuwymiarowe, żyją na płaszczyźnie lub na innej powierzchni i o trzecim wymiarze mają mniej więcej takie samo pojęcie jak my o czwartym. Dlatego, gdy umieścimy je w sytuacjach wymagających znajomości trzeciego wymiaru, obserwacja ich zachowania jest dla nas bardzo użyteczna i pouczająca. Najczęściej robimy to wówczas, kiedy chcemy lepiej zrozumieć zjawiska czterowymiarowe; wiedząc, co się dzieje w trzecim wymiarze, zgadujemy, co myślą o tym płaszczaki, a potem wyobrażamy sobie analogiczną sytuację w wymiarze o jeden wyższym. Płaszczaki są też pomocne przy ilustrowaniu rozmaitych pojęć z geometrii powierzchni i przestrzeni. Powołał je do życia ponad sto lat temu E. A. Abbott i od tego czasu matematycy (i nie tylko oni) chętnie korzystają z ich usług.

Edwin Abbott Abbott (to nie pomyłka, drugie imię brzmiało tak samo jak nazwisko), nauczyciel z Londynu, napisał wiele książek, ale dotyczyły one przede wszystkim... teologii i gramatyki. Wyjątkiem była jedna: Flatland (Flatlandia), wydana w roku 1884. Właśnie tam płaszczaki pojawiły się po raz pierwszy.
Mało kto dziś wie, że główną ideą Flatlandii nie było wytłumaczenie zjawisk w czwartym wymiarze, ale satyra na stosunki panujące w wiktoriańskiej Anglii, pokazana na przykładzie baśniowego świata. Główny bohater, A. Square, może być uważany za personifikację autora (A jak Abbott; squared znaczy po angielsku "do kwadratu"). Trzeci wymiar to jakby trochę uboczny, choć też niezwykle ważny motyw tej książki. Można się tam też doszukać aluzji do świata duchowego, nie mówiąc już o tym, że dziś zapewne wielu zaliczyłoby Flatlandię do gatunku literatury fantastycznonaukowej.
Powróćmy do wyboru drogi na powierzchni. Wiemy, że może on odgrywać decydującą rolę. w życiu najczęściej interesują nas drogi najkrótsze. Nie ma więc powodu przypuszczać, że płaszczaki będą myślały inaczej. Żyjąc na dwuwymiarowej powierzchni, też zainteresowane są najkrótszymi drogami, które nazwano geodezyjnymi. Wyobraźmy sobie, że mamy na powierzchni dwa punkty; krzywa, która wyznacza najkrótszą drogę od jednego z nich do drugiego, to właśnie geodezyjna. Na płaszczyźnie geodezyjnymi są linie proste. Gdyby na badanej powierzchni żyły płaszczaki, to traktowałyby jak linię prostą właśnie krzywą geodezyjną. My też, rysując na powierzchni Ziemi fragment prostej, zazwyczaj nie pamiętamy o tym, że naprawdę rysujemy na zakrzywionej powierzchni linię, która przecież prostą nie jest. Na sferze geodezyjne to okręgi wyznaczone przez koła wielkiej kuli (czyli koła powstałe po przecięciu kuli płaszczyzną przechodzącą przez jej środek).
Wybierzmy krzywą gładką na powierzchni, przechodzącą przez zadany punkt. Krzywa ta ma w tym punkcie krzywiznę, której wektor jest prostopadły do wektora stycznego, co wcale nie oznacza, że jest prostopadły do płaszczyzny stycznej. Możemy go (standardowo) rozłożyć na wektor styczny do powierzchni i wektor do niej prostopadły (składową wzdłuż wektora normalnego). Część styczna odpowiada za zachowanie się krzywej na powierzchni. Część prostopadła opisuje zachowanie się krzywej zdeterminowane przez powierzchnię.
Dla krzywej geodezyjnej część styczna wektora krzywizny wynosi zero. Nie jest to zaskakujące, gdyż owa krzywa zachowuje się na powierzchni jak prosta na płaszczyźnie, gdy część styczna wektora krzywizny równa się zero. Rzut geodezyjnej na płaszczyznę styczną w pobliżu punktu styczności w kierunku wektora normalnego daje kawałek linii prostej. Zakrzywienie geodezyjnej pochodzi jedynie od powierzchni.
Tak więc o zakrzywieniu powierzchni możemy się czegoś dowiedzieć ze składowej normalnej wektora krzywizny. Wartość tej składowej to krzywizna normalna. Okazuje się jednak, że krzywizna normalna zależy nie tyle od krzywej, co od wektora stycznego do niej (cały czas rozważamy wektory styczne do krzywych, mające długość jednostkową). Mówimy wtedy o krzywiźnie normalnej w kierunku wektora stycznego. Wśród wszystkich krzywizn normalnych w danym punkcie w różnych kierunkach zawsze można znaleźć tę największą oraz tę najmniejszą. Są to krzywizny główne. Ich iloczyn (z odpowiednim znakiem) już dobrze opisuje zakrzywienie powierzchni. Ten iloczyn jest nazywany krzywizną Gaussa powierzchni.
i znów pojawia się nazwisko Gaussa - tym razem w dziedzinie odległej od teorii liczb, która, jak wspominaliśmy w rozdziale o liczbach pierwszych, była jego ulubioną dziedziną. Jednak ważne rezultaty Gauss uzyskał w każdym niemal dziale matematyki. Geometrią różniczkową powierzchni zajął się niejako z obowiązku służbowego, gdy ministerstwo spraw publicznych Księstwa Hanoweru zleciło mu nadzór nad projektem wykonania geodezyjnych pomiarów okręgu hanowerskiego. Gauss nie był zadowolony z powierzonych obowiązków, gdyż odrywały go od ulubionej matematyki. Wywiązywał się jednak z nich sumiennie, a efektem jego pracy były również ważne fakty z teorii powierzchni. Uporządkował znane wyniki i stworzył narzędzia, pozwalające badać geometryczne własności powierzchni metodami analizy matematycznej.
Sam Gauss określał krzywiznę powierzchni nieco inaczej (choć równoważnie). Posługiwał się również wektorami normalnymi, ale zamiast krzywych badał powierzchnię w pobliżu punktu i odpowiednio odwzorowywał ją na sferę jednostkową. Wybierzmy na powierzchni punkt i rozważmy niewielki fragment otaczającej go powierzchni. w każdym punkcie tego kawałka możemy wystawić jednostkowy wektor normalny. Każdemu takiemu wektorowi odpowiada wektor zaczepiony w środku sfery jednostkowej o tym samym kierunku. Koniec tego wektora wyznacza punkt na sferze. w ten sposób punkty kawałka powierzchni przekształcą się na pewien fragment sfery - to właśnie jest odwzorowanie Gaussa. Można badać stosunek pola części powierzchni sfery wyznaczonej przez wektory normalne do pola kawałka wyjściowego. Mierzy on jakby stopień rozproszenia wektorów normalnych na powierzchni. Gdy powierzchnia jest płaska, to wektory wyznaczają ten sam kierunek, a zatem w odwzorowaniu Gaussa każdy fragment tej powierzchni przechodzi w jeden punkt na sferze. Krzywizna Gaussa jest granicą opisanych ilorazów, gdy bierzemy coraz to mniejsze kawałki powierzchni otaczające badany punkt. Taki opis raczej nie nadaje się do rachunków. Pozwala jednak stwierdzić, że w przypadku płaszczyzny dostaniemy krzywiznę zerową, a w przypadku sfery o promieniu r będzie to liczba 1/r^2. Konstrukcja krzywizny Gaussa za pomocą krzywizn normalnych jest znacznie bardziej praktyczna.

Nietrudno się przekonać, że krzywizna Gaussa powierzchni walca jest zerowa, gdyż wyznaczające ją krzywizny główne są związane z prostą i okręgiem położonymi na walcu. Pierwsza krzywizna wynosi zero, druga zaś to odwrotność promienia okręgu; ich iloczyn równa się zatem zeru.
Uzyskany wynik może się wydawać dziwaczny. Jak to możliwe? Przecież walec wcale nie jest płaski, jego powierzchnia jest zakrzywiona! Wynik można uzasadnić tym, że powierzchnię walca otrzymujemy z płaszczyzny poprzez jej wyginanie, ale bez zmiany odległości na przekształcanej płaszczyźnie. Jeśli na kartce papieru wybierzemy dwa punkty i połączymy je odcinkiem, a następnie zaczniemy wyginać kartkę, to odległość pomiędzy punktami na powstającej powierzchni się nie zmieni - kartka jest deformowana w sposób sztywny bez rozciągania i ściskania. Takie przekształcenie nazywa się często izometrycznym. Nie ma to jednak wiele wspólnego z definicją izometrii z lekcji geometrii. Te nowe izometrie nie zmieniają odległości tylko na deformowanej powierzchni.
Płaszczak, który mieszkałby na wyginanej płaszczyźnie, nie byłby w stanie stwierdzić, że coś się stało. Mierzenie odległości na powierzchni nie pozwoliłoby mu na odnotowanie zmian. Mógłby je zauważyć dopiero po oderwaniu się od płaszczyzny; płaskie istoty nie mogą jednak spojrzeć nad płaszczyznę, "do góry".
Gdybyśmy płaszczyznę nie tylko wyginali, lecz rozciągali lub ściskali (przy założeniu, że jest wykonana z elastycznej błony), zmieniałyby się także odległości, a wraz z nimi i krzywizna.
Płaszczyzny nie da się w sposób sztywny wygiąć na sferę. Łatwo się o tym przekonać, próbując owinąć piłkę gazetą. Nie można płata gumowej piłki rozpłaszczyć w sposób naturalny (bez rozciągania). Krzywizna Gaussa sfery jest równa w każdym punkcie kwadratowi odwrotności jej promienia. Im większa sfera, tym mniejsza jej krzywizna.
Gauss zbadał wiele własności zdefiniowanej przez siebie krzywizny. Między innymi udowodnił twierdzenie, które wydało mu się zaskakujące i tak ważne, że nazwał je theorema egregium, czyli twierdzeniem wybornym. Najogólniej mówiąc, głosi ono, że krzywiznę Gaussa można zdefiniować za pomocą pojęć dotyczących jedynie badanej powierzchni, bez wnikania w to, w jakiej przestrzeni ta powierzchnia jest położona, bez wychodzenia poza powierzchnię. Krzywizna Gaussa należy więc do geometrii wewnętrznej powierzchni.
Ujmijmy to inaczej. w powyższych rozważaniach wspominaliśmy o geometrii na danej powierzchni. Na zwykłej płaszczyźnie z normalną odległością obowiązuje doskonale nam znana geometria euklidesowa. Na innej powierzchni też można określić odległość między punktami za pomocą długości geodezyjnych. Rolę prostych pełnią tam właśnie geodezyjne; otrzymujemy pewną geometrię, w której obowiązują odpowiednie prawa. Płaszczaki żyjące na takiej powierzchni mogą formułować rozmaite twierdzenia, definiować figury i badać związki między nimi. Zazwyczaj na takiej wykrzywionej powierzchni nie obowiązują prawa geometrii euklidesowej. Na przykład na sferze przez dwa punkty można czasem poprowadzić więcej niż jedną geodezyjną (która na sferze spełnia rolę prostej). Twierdzenie Gaussa głosi, że posługując się metodami geometrii powierzchni płaszczaki będą mogły zbadać krzywiznę tejże powierzchni. Jest to co najmniej zaskakujące. Jak wiemy, wielu zjawisk przestrzennych płaszczaki nie mogą zarejestrować, ponieważ nie potrafią "wejść" w trzeci wymiar. Co najwyżej mogą snuć pomysłowe hipotezy. Ponadto określenie krzywizny Gaussa wydaje się niemożliwe bez wektorów normalnych, płaszczyzn stycznych itd. a jednak theorema egregium stwierdza, że jest to możliwe.
Gauss sformułował swoje twierdzenie w czasach, gdy dopiero rodziły się podstawy geometrii nieeuklidesowej. Myśl o tym, że może istnieć geometria inna od euklidesowej, była tak śmiała, iż nawet matematyk o ogromnym i powszechnie uznanym autorytecie, jakim był wówczas Gauss, nie ośmielił się jej publicznie ogłosić. Tymczasem theorema egregium wyraźnie wiązała geometrię powierzchni z krzywizną: jeśli krzywizna jest różna od zera, to na powierzchni obowiązuje geometria nieeuklidesowa i płaszczaki mogłyby to stwierdzić.
Rezultaty Gaussa stanowiły podstawę do dalszych badań nad zakrzywieniem przestrzeni. Można bowiem postawić pytanie, czy przestrzeń może być zakrzywiona oraz jak to opisać i zmierzyć.
Zauważmy, że choć używamy zwrotu "trójwymiarowy", to trudno sobie wyobrazić takie obiekty, i do tego jeszcze zakrzywione. Na myśl przychodzi otaczająca nas przestrzeń albo twory przypominające bryły. Ale w takich bryłach powykrzywiana jest ich powierzchnia, a co z wnętrzem? Płaszczakowi, istocie dwuwymiarowej, też trudno byłoby wyobrazić sobie sferę lub dętkę samochodową, choć niewątpliwie są to powierzchnie. Gdy wyginaliśmy płaszczyznę, wraz z nią deformacji ulegał także płaszczak, i przy braku zmiany odległości nie miał szans tego zauważyć.
Obiektem trójwymiarowym, zdefiniowanym prosto i naturalnie, jest sfera trójwymiarowa, zbiór punktów przestrzeni czterowymiarowej jednakowo odległych od ustalonego punktu - jej środka. o tej sferze i kłopotach z jej "zobaczeniem" wspominaliśmy w rozdziale siódmym. Gdy chcemy ją sobie wyobrazić, często pomocne są analogie z płaszczakami na "zwykłej" sferze dwuwymiarowej. w szczególności możemy zauważyć, że twór żyjący na takiej sferze, udając się w jakimkolwiek kierunku, powinien po pewnym czasie powrócić do punktu wyjścia - analogicznie jak stanie się z płaszczakiem, który wyruszy na sferze w wędrówkę po geodezyjnej. Świadczy to o zakrzywieniu sfery trójwymiarowej, która zresztą jest jednym z najprostszych obiektów trójwymiarowych. Istnieje też wiele innych, znacznie bardziej skomplikowanych obiektów tego rodzaju.
A co z przestrzenią, w której żyjemy? Czy jest "płaska", czy też powykrzywiana, tak jak na przykład powierzchnia sfery? Problemem zakrzywienia przestrzeni i sposobem jego badania zainteresowani są fizycy. Ale zanim te sprawy zaczęły zaprzątać ich uwagę, Bernhard Riemann, również wspominany w rozdziale o liczbach pierwszych, uogólnił idee Gaussa i określił zakrzywienie przestrzeni. Riemann przeprowadził swoje rozumowanie dla obiektów n-wymiarowych. Uogólnienie to nie jest natychmiastowe i oczywiste. w wyżej wymiarowych przypadkach nie opisuje się zakrzywienia za pomocą jednej liczby, lecz za pomocą całego ich układu, podlegającego pewnym regułom przy zmianie punktu odniesienia. Ten układ liczb nosi groźną nazwę tensora krzywizny, dokładniej, tensora krzywizny Riemanna. (Na marginesie - kabaret, utworzony ongiś przez studentów matematyki, nosił nazwę "Wściekły tensorek"). Bardziej precyzyjny opis tensora krzywizny wymaga pewnych przygotowań i nie będziemy się tu nim zajmować. Wspomnijmy jedynie o tym, że tensory pojawiły się jako swego rodzaju uogólnienia wielkości wektorowych. Na przykład w fizyce wyróżnia się: wielkości skalarne, czyli liczby, wielkości wektorowe - niosące w sobie więcej informacji niż skalary (w przestrzeni wektor opisują trzy liczby) - i wielkości tensorowe różnego typu; w geometrii różniczkowej twory te nazywa się obiektami geometrycznymi. Tak więc już zakrzywienie przestrzeni opisane jest przez dość zawiły obiekt geometryczny: tensor krzywizny, który - gdy ustalimy dwa kierunki - daje krzywiznę Gaussa dla czegoś w rodzaju powierzchni geodezyjnej, zanurzonej w tej przestrzeni.
Ideę uogólnienia pojęcia krzywizny przedstawił Riemann w swoim wykładzie habilitacyjnym w 1854 roku. Rezultaty te zyskały jednak rozgłos dopiero po śmierci Riemanna; stały się podstawą rozwoju nowoczesnej geometrii różniczkowej i znalazły zastosowanie w fizyce. w 1915 roku ukazała się praca Alberta Einsteina, w której teoria grawitacji została sprowadzona do geometrii przestrzeni; powstała ogólna teoria względności. Okazało się, że materia ma wpływ na tę geometrię, a grawitację można interpretować jako zakrzywienie przestrzeni. Pojawiło się naturalne pytanie o kształt Wszechświata, w którym żyjemy.
Theorema egregium, przeniesiona na przestrzenie wyżejwymiarowe, stwierdza, że nasze próby zbadania zakrzywienia Wszechświata nie są pozbawione sensu. Bez względu na to, czy Wszechświat jest zanurzony w jakieś hiperprzestrzeni, czy nie (a jeśli tak, to w jakiej), mamy szansę obliczyć jego zakrzywienie, posługując się własnościami rządzącej w nim geometrii. Choć może się to okazać niezwykle trudne.
Gdyby jednak Wszechświat był "powyginany" (jak rulon kartki - powierzchnia walca), to posługując się tylko krzywizną (tensorem krzywizny), nie potrafilibyśmy tego stwierdzić. "Od wewnątrz" Wszechświat byłby płaski, choć "z zewnątrz" wyglądałoby to inaczej. Potrzebne byłyby wtedy inne metody, ale pomysłowość ludzka nie zna granic. Na pewno istnieje powierzchnia, na której toto jest prostą.

Źródło