Od początku historii ludzie borykali się z problemami nieskończoności, która była jak mityczny Cerber strzegący bram piekieł. Istnieje liczba największa, ale dosięgnąć jej nie zdoła człowiek. Tylko bogowie mają tę moc i oni jedni potrafią policzyć gwiazdy na niebie - taki jest motyw przewodni starożytnych, a nawet i nowszych religii. Świadczy on o obsesji, jaką od niepamiętnych czasów ten problem stwarzał ludziom, a także zawiera wyznanie, że człowiek go nie rozwiąże, że nigdy nie policzy aż do końca. My także sięgamy czasem do materialnych porównań, gdy chcemy wyobrazić sobie nieskończoność. Myślimy wtedy np. o ziarnkach piasku na pustym, o kroplach wody w oceanie lub o gwiazdach na firmamencie, często nie zdając sobie sprawy, że te porównania są dziecinne, gdyż wszystko to są ilości skończone. W potocznym rozumieniu nieskończoność pojmuje się przez jej negację (to jest skończoność) albo jako coś, czego nigdy nie można dosięgnąć.
Trzeba tu powiedzieć, że człowiek istotnie nie może policzyć ani kropel w morzu, ani ziarnek piasku na pustyni. Przyjąwszy, że kropla ma średnicę 2 mm, w Morzu Śródziemnym byłoby ich 10^24 (jedynka i 24 zera), a przyjąwszy, że w 1 mm^3 drobnego piasku jest 10 ziarenek, Sahara zawiera w warstwie głębokości 20 cm około 10^21 ziarenek. Ale przy takich wyobrażeniach nieskończoności matematyka nie mogłaby stać się tym, czym jest dzisiaj, był to bowiem ten próg, na którym zatrzymała się w swych rozumowaniach matematyka grecka. Skądinąd próby opanowania pojęcia nieskończoności zaczęły się już w starożytnej Grecji, w szkole pitagorejskiej, w której słusznie przyjmowano, że nieskończoność to jest coś, czemu nie można przypisać żadnej wielkości. Tamże, nieco później, w czasach Platona, problem ten przeżył swój pierwszy moment krytyczny, z którego, jak to ujął Bertrand Russell, wzięły początek w tej czy innej postaci podstawy prawie wszystkich teorii przestrzeni, czasu i nieskończoności, jakie powstały od tamtych czasów aż do naszych dni.
Później pojęcie nieskończoności w matematyce uzyskało sens precyzyjny i nie wydaje się już nieprzejrzyste, przynajmniej nie w tym sensie jak to mogą odczuwać profani. Ma ono nawet swój symbol: infty , rodzaj położonej ósemki, zwanej także lemniskatą. Został on wprowadzony do konwencji graficznej matematyki stosunkowo niedawno - zawdzięczamy go angielskiemu matematykowi Johnowi Wallisowi, który go użył po raz pierwszy w 1655 r. Ale istnienie nieskończoności nie może być przedmiotem dowodu matematycznego, gdyż nieskończoność zbioru liczb, czyli niemożność ich przeliczenia, jest jednym z podstawowych aksjomatów, na których opiera się cała dzisiejsza matematyka. Ale czy naprawdę nieskończoność jest potrzebna w praktyce? Na jej tropach widzimy astrofizyków, którzy choć mają do czynienia z bardzo wielkimi liczbami (np. żeby wyrazić liczbę cząstek we wszechświecie), nie przekraczają nigdy pewnej granicy. Matematyk amerykański lat czterdziestych Edward Kasner, chcąc przyzwyczaić swego 9-letniego siostrzeńca do wielkich liczb, wynalazł pewnego razu googol, liczbę równą 10^100, a więc piszącą się w systemie dziesiętnym jako 1 ze stoma zerami. Dla matematyka przyzwyczajonego do operowania nieskończonością nieduża to liczba, a jednak przekracza ona wszelkie ilości spotykane w świecie realnym i nie ma przez to żadnego znaczenia fizycznego. Ile też milimetrów kwadratowych ma pole powierzchni Ziemi? Wygodne mieszkanie ma powierzchni 100 m^2 = 100 milionów mm^2, a więc chyba powierzchnia Ziemi przekroczy ten googol? Nic podobnego. Wynosi ona zaledwie 5 x 10^20 mm^2 (5 i 20 zer)! Można jednak podać przykłady liczb większych. Przypuśćmy, że cała Ziemia zbudowana jest z piasku, po 10 ziarenek w 1 mm^3. Wtedy liczba wszystkich ziarenek będzie rzędu 10^31; daleko jeszcze do googola! Zgodnie z pewną teorią astronomiczną wszechświat jest skończony i ma średnicę 10^42 razy większą od średnicy jądra atomowego. Taki też jest stosunek wieku wszechświata do czasu, w którym światło przechodzi przez jądro atomu. Nie większy jest stosunek siły elektrostatycznej działającej w atomie między jądrem a elektronem do siły grawitacyjnej działającej między tymi cząstkami. Tego rzędu jest też ilość nukleonów (to jest protonów i neutronów) we wszechświecie. A zatem l0^42 jest granicą wszelkich ilości, których we wszechświecie można się doliczyć. Można jednak iść jeszcze dalej licząc nie tylko cząstki ciężkie w jądrze atomowym, tj. protony i neutrony, ale także elektrony oraz cząstki bez ładunku i masy, a więc fotony (związane z falami elektromagnetycznymi) i neutrino. Wiedząc, że tych wszystkich cząstek elementarnych są miliardy w najmniejszym pyłku, można by dojść do liczby 10^88, a to byłaby dopiero jedna milionowa jednej milionowej części googola. Można by wreszcie obliczyć objętość wszechświata w milimetrach sześciennych, a nawet w angstremach sześciennych (1 angstrem = 1/10^7milimetra), a wtedy przekroczymy googol, ale takie rachunki nie mają żadnego znaczenia fizycznego. Googol nie odpowiada więc żadnej rzeczywistej ilości. Niczego aż tyle nie ma. Liczba 10^100 nie przedstawia nic wyobrażalnego; przekracza ona wszystko, co można policzyć lub zmierzyć na świecie. Napotykamy tu granicę między arytmetyką a fizyką. Oczywiście nie przeszkodziło to matematykom przekroczyć bardzo istotnie granice obliczalnego wszechświata, a liczba taka jak googol jest dla innych tylko jedną z nieskończenie wielu elementów zbioru liczb naturalnych. Ale realność lub nierealność fizyczna jakiegoś pojęcia nie interesuje dzisiejszego matematyka. Żegluje on w abstrakcji, a interesuje go przede wszystkim poprawność rozumowania i niesprzeczność teorii. I tym różni się prawda w matematyce od rzeczywistości fizycznej. Nie szkodzi, że np. napisanie cyframi liczby (10^10)^100(tj. 10 do potęgi 10^100, czyli do potęgi googol) przechodzi możliwości człowieka (trzeba by do tego tylu tomów formatu encyklopedycznego, ile się zmieści w kuli o promieniu wynoszącym 10 miliardów lat świetlnych). Ważne jest, że istnienie tej liczby da się matematycznie stwierdzić. W kombinatoryce zwłaszcza spotyka się tak ogromne liczby, że nawet ich napisanie w notacji eksponecjalnej (czyli wykładniczej) wymagałoby piętrowych wykładników, które sięgać by musiały na wysokość większą niż największa znana odległość w astronomii.